1
Fundamentos de la Diferenciación Numérica
MATH007Lesson 4
00:00
La diferenciación numérica marca la transición de alto riesgo desde la suavidad infinita del cálculo hasta el mundo discreto y finito de la computación digital. Intercambiamos el límite infinitesimal por un tamaño de paso medible $h$. Aunque la derivada teórica de $f$ en $x_0$ se define como $$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$$, los sistemas informáticos no pueden calcular un límite directamente. En cambio, utilizamos fórmulas de diferencias finitas, incurriendo en una penalización cuantificable conocida como error de truncamiento.

1. La Geometría de la Derivada

Para aproximar $f'(x_0)$, observamos puntos vecinos. Dependiendo de nuestra elección de dirección, obtenemos dos fórmulas principales:

  • Fórmula de diferencia hacia adelante: Se utiliza si $h > 0$. Se enfoca hacia adelante en $x_0 + h$.
  • Fórmula de diferencia hacia atrás: Se utiliza si $h < 0$. Se enfoca hacia atrás en $x_0 + h$ (donde $h$ es negativo).

En ingeniería del mundo real, como al calcular la longitud de arco de una trayectoria curva, a menudo dependemos de estas aproximaciones: $$L = \int_{0}^{48} \sqrt{1 + (f'(x))^2} dx = \int_{0}^{48} \sqrt{1 + (\cos x)^2} dx$$ Si $f(x)$ solo se conoce en puntos discretos de sensores, la diferenciación numérica es el único camino posible.

2. Derivación Matemática mediante Interpolación

Para aproximar $f'(x_0)$, supongamos primero que $x_0 \in (a, b)$, donde $f \in C^2[a, b]$, y que $x_1 = x_0 + h$. Construimos el primer polinomio de Lagrange $P_{0,1}(x)$ determinado por $x_0$ y $x_1$:

Paso 1: Construcción del interpolante
$f(x) = P_{0,1}(x) + \frac{(x - x_0)(x - x_1)}{2!} f''(\xi(x))$
Paso 2: Diferenciación
Diferenciando ambos lados y evaluando en $x = x_0$ se obtiene la relación fundamental: $$f'(x_0) = \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} - \frac{h}{2} f''(\xi)$$

3. El Término de Error y la Convergencia

El término $-\frac{h}{2} f''(\xi)$ es nuestro error de truncamiento. Esta fórmula demuestra que la precisión es $O(h)$, lo que significa que si se reduce a la mitad el tamaño de paso $h$, se reduce aproximadamente a la mitad el error. Sin embargo, debemos tener cuidado: aunque un valor más pequeño de $h$ disminuye el error de truncamiento, eventualmente aumenta error de redondeo debido a la resta de números casi idénticos en el numerador.

🎯 Principio Fundamental: La Diferencia Finita
La diferenciación numérica sustituye el límite por una cuerda finita. La calidad de nuestra aproximación depende estrictamente del tamaño de paso $h$ y de la suavidad (segunda derivada) de la función.
$f'(x_0) \approx \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}$ con límite de error $\frac{h}{2} \max|f''(\xi)|$